Question

如图，在直线m上摆放着三个正三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC=GE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC，GN∥DC．设图中三个平行四边形的面积依次是S₁，S₂，S₃，若S₁+S₃=20，则S₂等于（ ）

A．7
B．8
C．9
D．10

Answer

首先要弄清的是S1与S△OFC（即a）、S3与S△GNE（即b）的关系；以前者为例，若设△OFC中，OC边上的高为h，则a=OC•h，而S1=OA•h；由于BF=FC，且△BMF、△FOC都是等边三角形，故OA=BF=FC=OC，由此发现S1=2a，同理S3=2b；由于△OFC和△GNE都是等边三角形，所以它们都相似，且相似比为1：2（因为BC=GE=2FC），故b=4a，a+b=5a=（S1+S3）=10，由此可得a=2，b=4；然后按照上面的方法证S2与S△PCG（即b）的关系，从而得到S2的面积．
【解析】
如图；（a、b分别表示△OFC、△GNE的面积）
∵F、G分别是BC、CE的中点，
∴△BMF、△OFC以及△CPG、△GNE都是全等的等边三角形；
∴S△CPG=b；
设M到AC的距离为h，则S1=OA•h，a=OC•h；
∵OA=MF=OC，∴S1=2a，同理可得S3=2b；
易知△OFC∽△NGE，则a：b=FC2：GE2=1：4，即b=4a；
∵a+b=（S1+S3）=10，故a=2，b=8；
∴S△PCG=b=8；
梯形COHG中，PH=OC=FM=CG=PG，同上可证得S2=S△CPG；
所以S2=b=8，故选B．