Question

如图，△ABC内接于圆O，AD是圆O的直径，AH⊥BC，垂足为H，连接BD．
（1）求证：△ABD∽△AHC；
（2）若tan∠ABC=，AH=，CH=，求圆O的直径长．

Answer

（1）由于AD为直径，AB⊥BD，又AH⊥BC，弧AB对应的∠ADB=∠ACB，则得证△ABD∽△AHC．
（2）由AH、CH的长求得AC的长，由tan∠ABC=求得BH的长，再得AB的长，最后由相似三角形对应边成比例求得AD的长．
（1）证明：∵AD是圆O的直径，∴∠ABD=90°．
∵AH⊥BC，∴∠AHC=90°．
∴∠ABD=∠AHC．
∵∠D=∠C（同弧所对的圆周角相等），
∴△ABD∽△AHC．

（2）【解析】
∵，
∴．
∵，
∴．
∵△ABD∽△AHC，
∴，即，解得．