Question

如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：y=-x+m与x、y轴的正半轴分别相交于点A、B，过点C（-4，-4）画平行于y轴的直线交直线AB于点D，CD=10．

（1）求点D的坐标和直线l的解析式；
（2）求证：△ABC是等腰直角三角形；
（3）如图2，将直线l沿y轴负方向平移，当平移适当的距离时，直线l与x、y轴分别相交于点A′、B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形．请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（不必书写解题过程）

Answer

（1）由点C的坐标和CD的长，求出点D的坐标，再把点D的坐标代入求得m的值，即可求得直线l的解析式；
（2）由直线l的解析式可求得点A、B的坐标，过点C画CH⊥y轴于H，则CH=OH=4，BH=8．求证△AOB≌△BHC即可求得AB=BC，∠HBC=∠OAB，进而求得∠ABC=90°；
（3）此题应分作三种情况考虑，可先设出平移后直线l的解析式（由于是平移，故斜率不变），然后表示出A'、B'的坐标，进而可得到它们的中点坐标；
①以P为直角顶点，那么此时P点为A'B'的中垂线与直线CD的交点，可根据A’B'中点（M）的坐标及直线AB的斜率求出此中垂线的解析式，进而得到P点坐标的表达式，若△A′B′P是等腰直角三角形，则PM=A'B'，可据此列出关系式求出P点的坐标；
②以B'为直角顶点，那么点P为过B点且与直线A'B'垂直的直线的解析式，可根据点P的坐标求出这条直线的解析式，然后表示出点P的坐标，进而根据△A′B′P是等腰直角三角形得到A'P=A'B，以此列方程求得P点坐标；
③以A'为直角顶点，方法同②．
【解析】
（1）∵CD=10，点C的坐标为（-4，-4），
∴点D的坐标为（-4，6）（2分）
把点D（-4，6）代入得，m=4．
∴直线l的解析式是；（4分）

（2）
∵，
∴A（8，0），B（0，4），
过点C画CH⊥y轴于H，则CH=OH=4，BH=8．
在△AOB和△BHC中，
∵AO=BH，∠AOB=∠BHC，BO=CH，
∴△AOB≌△BHC（6分）
∴AB=BC，∠HBC=∠OAB，
∴∠ABC=90°
∴△ABC是等腰直角三角形；（8分）

（3）．