Question

如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（-8，0），点N的坐标为（-6，-4）．
（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A，点N的对应点为B，点H的对应点为C）；
（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；
（3）试设计一种平移使（2）中的抛物线经过四边形ABCO的对角线交点；
（4）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况？若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由于直角梯形OMNH绕点O旋转180°后得到图形OABC，因此梯形OMNH和梯形OABC是中心对称图形，且对称中心为原点O，所以点A、B、C与点M、N、H关于原点对称，即可求出点A、B、C的坐标；
（2）已知了抛物线图象上A、B、C三点的坐标，可利用待定系数法求出该抛物线的解析式；
（3）可先求出直线OB、AC的解析式，联立两条直线的解析式即可求得它们的交点坐标；若使（2）所得抛物线经过此交点，那么平移方法有很多种，以该抛物线顶点经过此交点为例，首先将抛物线的解析式化为顶点坐标式，即可得到其顶点坐标，然后分别求出这两点横、纵坐标的差，根据“上加下减，左加右减”的平移规律来确定平移方案即可；
（4）过B作BM⊥x轴于M，易求得MC、BM、BC的值，即可得到表示出EM的长，然后分别表示出BE2、EF2、GF2、BG2的值，由于不确定四边形BEFG的哪两条邻边相等，因此分：①BG=GF，②BE=BG，③BE=EF，④GF=EF；四种情况进行讨论，根据各自的等量关系，列出不同的关于m的方程求出m的值．
【解析】
（1）利用中心对称性质，画出梯形OABC．
∵A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，
∴A（0，4），B（6，4），C（8，0）；

（2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为y=ax2+bx+c，
∵抛物线过点A（0，4），
∴c=4．则抛物线关系式为y=ax2+bx+4．
将B（6，4），C（8，0）两点坐标代入关系式，得
解得
所求抛物线关系式为：；（2分）

（3）由得，它的顶点是（3，）
又直线OB的解析式是y=x，直线AC的解析式是y=，
两直线的交点是（）；
故-3=，-=-；
所以，只要把抛物线向右平移，向下平移个单位就能使顶点过梯形ABCO的对角线交点；

（4）OA=4，OC=8，
∴AF=4-m，OE=8-m．
过B作BM⊥x轴于M，则：BM=OA=4，MC=OC-AB=2；
∴EM=m-2或2-m，
即ME2=（m-2）2；
在Rt△BEM中，BM=4，ME2=（m-2）2；
根据勾股定理得：BE2=BM2+ME2=m2-4m+20；
同理：EF2=2m2-16m+64，GF2=2m2-8m+16，
而BG=6-m，
即BG2=m2-12m+36；则：
①GB=GF，则GB2=GF2，得：
m2-12m+36=2m2-8m+16，即m2+4m-20=0，
解得m=-2±2（负值舍去）；
故当时，GB=GF，
②BE=BG，则BE2=BG2，得：
m2-4m+20=m2-12m+36，
解得m=2；
故当m=2时，BE=BG．
③BE=EF，则BE2=EF2，
得：m2-4m+20=2m2-16m+64，
即m2-12m+44=0，
此方程无解，
故此种情况不成立．
④GF=EF，则GF2=EF2，
得：2m2-8m+16=2m2-16m+64，
解得m=6，
此时BG=6-m=0，构不成四边形BEFG，故此种情况不成立．
综上所述，当时，GB=GF，当m=2时，BE=BG．