Question

已知：如图，在平面直角坐标系内，直线y=x上有一点A，AD⊥x轴于D，且AD=3，C是x轴上的一点，AC⊥AO，长度等于OD的线段EF在x轴上沿OC方向以1/s的速度向点C运动（运动前EF和OD重合，当F点与C重合时停止运动，包括起点、终点），过E，F分别作OC的垂线交直角边于点P、点Q，连接线段PD，QD，PQ，PQ交线段AD于点M，若设EF运动的时间为t（s）．
（1）写出A点坐标______．PE=______（用含t的代数式表示线段），其中自变量t的取值范围为______；
（2）是否存在t的值，使得线段PD⊥QD？若存在，请求出相应的t的值，若不存在，请说明理由；
（3）①当t=秒时，线段AM=______；
②求线段AM关于自变量t的函数解析式，并求出AM的最大值．

Answer

（1）根据直线方程和点的纵坐标可以求出横坐标，进而求出点的坐标；找到终点位置，可以知道t的极限值．
（2）把结论当做已知条件，根据勾股定理或者三角形相似列出方程式，找到相应的关系式，验证是否在定义域内即可．
（3）可以有多种做法，例如S△APQ面积的多种求法、△PMH∽△PTQ等都可以列出方程式，根据定义域可以知道最大值．
【解析】
（1）∵AD⊥x轴于D，且AD=3点A过直线y=x
∴代入函数式解得A点坐标为（4，3）
解法①由题意得P点横坐标为t，过直线y=x，所以纵为坐标，即PE=；
解法②∵AP⊥AQ，AM⊥EF
易证△AOD∽△ADC∽△AOC∽△OPE∽△CQF，且三边之比都为3：4：5，
求得PE=，DC=．
∴t的取值范围为0≤t≤；

（2）不存在t的值使PD⊥QD，理由如下：
方法一（相似）
∵OE=DF=t，∴FC=-t
∴QF=
若PD⊥QD，易证△PED∽△DQF
则=
∴=
4-t=-t
4=
这是不可能的，
∴不存在t的值使PD⊥QD
方法二（勾股定理的逆定理）
∵AP2+AQ2=（5-）2+（）2=25-+2+2（2分）
PD2+QD2=（PE2+DE2）+（DF2+FQ2）=（）2+（4-t）2+t2+（3-）2（1分）
∴AP2+AQ2≠PD2+QD2
∴PD⊥QD不可能（2分）
∴不存在t的值使PD⊥QD．

（3）①解法如下，只要把当t=秒代入②中表达式
②方法一（面积法）：
∵AP⊥AQ，AM⊥EF
∴S△APQ=AP×AQ=AM×ED+AM×DF=AM×EF
∴AM==
==-2
=-（t-2）2+
∴当t=2秒时，AM最大值为．
方法二（相似）
过P作PH⊥QF于T，交AD于H．
QT=3--=3-
∵△PMH∽△PTQ
∴=
即=
∴MH=-2-+3
∴AM=AD-HD-MH=-2+
∴当t=2秒时，AM最大值为

方法三（函数法）
设直线PQ解析式为y=kx+b．
∵P（t，），Q（t+4，3-）
∴解得
∴y=（）x+
∵Mx=4
∴My=（）×4+=3-=MD
∴AM=AD-MD
=3-（3-）
=-2+
∴当t=2秒时，AM最大值为．