Question

（2013•保康县二模）如图，矩形纸片ABCD，点E是AB上一点，且BE：EA=5：3，EC=，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，设这个点为F，若⊙O内切于以F、E、B、C为顶点的四边形，则⊙O的面积=    ．

Answer

连接OB，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，则BE=EF，BC=CF；再由BE：EA=5：3可以设BE=5x，EA=3x，则FA=4x，CD=8x，又CF=AD，CF2=CD2+DF2，可得CF=10x，DF=6x，则BC=10x；在Rt△EBC中，由勾股定理可求得x的值，再由面积S△EBC=S△OEB+S△OBC求得⊙O半径，求出面积．
【解析】
连接OB，
由于把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，
则BE=EF，BC=CF；
由BE：EA=5：3，设BE=5x，EA=3x，
则FA=4x，CD=8x，又CF=AD，∴CF2=CD2+DF2，即CF2=（8x）2+（CF-4x）2，可得CF=10x，DF=6x，则BC=10x；
在Rt△EBC中，EB2+BC2=EC2，即（5x）2+（10x）2=（15）2，
解得：x=3，则BE=15，BC=30．
再由S△EBC=S△OEB+S△OBC，则×BE×BC=×BE×r+×BC×r，
解得：r=10；
则⊙O的面积为πr2=100π．