Question

（2010•温州模拟）Rt△ABC中，∠C=90°，按题目所给条件及要求将相应的直角三角形，分割成若干个全等的并且分别与原三角形相似的三角形．画出图形并简要说明画法．
第（1）图AC=BC将△ABC分割成2个三角形；第（2）图AB=2AC将△ABC分割成3个三角形；第（3）图将△ABC分割成4个三角形；第（4）图BC=2AC将△ABC分割成5个三角形．

Answer

（1）利用斜边上的中线，将三角形分割成两个全等的等腰直角三角形，都与原等腰直角三角形相似；
（2）过AB的中点E作AB的垂直平分线，交BC于D，则分割成的3个全等的直角三角形ACD，ADE，DEB都与原直角三角形相似，因为它们除直角外，还有一个锐角都是30°；
（3）过AB的中点分别作AC和BC的垂线，得到的4个直角三角形都与原直角三角形相似；
（4）作高CD，利用BC的中点E，分别作CD、BD的垂线即可．

【解析】
（1）取斜边AB中点D连接CD，因为AC=BC，所以CD⊥AB，所以等腰直角三角形ACD和CDB全等，且都与三角形ABC相似；（2分）

（2）作∠CAB的平分线交BC于D，作DE⊥AB于E，
因为AB=2AC，∠C=90°，
所以∠B=30°=∠CAD=∠DAB，
所以可证△ACD≌△AED≌△BED，且都与△ABC相似；（2分）

（3）取斜边AB的中点D，连接CD，则CD=AD=BD=AB，
作DE⊥AC，DF⊥BC，可证△AED≌△CED≌△CFD≌△BFD，且都与△ABC相似；（3分）

（4）作CD⊥AB于D，取BC中点E，作EG⊥CD于G，EF⊥BD于F，
∴∠EGD=∠GDF=∠EFD=90°，
∴四边形DGEF是矩形，又BE=EC=AC=DE，
进而可证△ADC≌△DGE≌△EFD≌△CGE≌△EFB，且都与△ABC相似．（3分）
（只画图没有说明画法每题扣（1分），画法正确但画图不准确酌情扣分．）