Question

如图，直线y=-x+2与坐标轴交于A，B两点，∠OAB的平分线交OB于点C₁，过点C₁作C₁D₁⊥AC₁交AB于点D₁，过点D₁作D₁E₁⊥OB，D₁C₂⊥C₁D₁，交点分别为点E₁、C₂，过点C₂作C₂D₂⊥D₁C₂交AB于点D₂，过点D₂作D₂E₂⊥OB，D₂C₃⊥C₂D₂，交点分别为点E₂、C₃，…依次操作．记△C₁D₁C₂的面积为S₁，△C₂D₂C₃的面积为S₂，…则S₅=    ．

Answer

首先根据直线的解析式求得点A、点B的坐标，根据勾股定理可以求得AB的长；
再根据角平分线定理可以求得OC1的长，根据勾股定理求得AC1的长，再根据角平分线的性质和相似三角形的性质，可以求得△C1D1C2的面积，以此类推，即可求解．
【解析】
令x=0，则y=2，即A（0，2）；
令y=0，则x=，即B（，0）．
根据勾股定理，得AB=．
∵∠OAB的平分线交OB于点C1，C1D1⊥AC1，D1E1⊥OB，
∴∠C1D1E1=∠AD1C1．
根据角平分线的性质，即可得到OC1=C1E1．
设OC1=C1E1=x．
根据角平分线定理，得
，
即，
解，得x=1．
则根据勾股定理，得AC1=．
根据△E1D1C1∽△OAC1，得
D1C1=．
则C2E1=．
根据△C2D1C1∽△OAC1，得
==，
则S1=．
根据相似三角形的性质，进一步求得=．
S2=．
以此类推，则S5=．