Question

（2009•河北）某公司装修需用A型板材240块、B型板材180块，A型板材规格是60cm×30cm，B型板材规格是40cm×30cm．现只能购得规格是150cm×30cm的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的裁剪示意图）

	裁法一	裁法二	裁法三
A型板材块数	1	2
B型板材块数	2	m	n

设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x张、按裁法二裁y张、按裁法三裁z张，且所裁出的A、B两种型号的板材刚好够用．
（1）上表中，m=______，n=______；
（2）分别求出y与x和z与x的函数关系式；
（3）若用Q表示所购标准板材的张数，求Q与x的函数关系式，并指出当x取何值时Q最小，此时按三种裁法各裁标准板材多少张？

Answer

（1）按裁法二裁剪时，2块A型板材块的长为120cm，150-120=30，所以无法裁出B型板，按裁法三裁剪时，3块B型板材块的长为120cm，120＜150，而4块块B型板材块的长为160cm＞150所以无法裁出4块B型板；
（2）由题意得：共需用A型板材240块、B型板材180块，又因为满足x+2y=240，2x+3z=180，然后整理即可求出解析式；
（3）由题意，得Q=x+y+z=x+120-x+60-x和，[注：事实上，0≤x≤90且x是6的整数倍]．由一次函数的性质可知，当x=90时，Q最小．此时按三种裁法分别裁90张、75张、0张．
【解析】
（1）按裁法二裁剪时，2块A型板材块的长为120cm，150-120=30，所以无法裁出B型板，
按裁法三裁剪时，3块B型板材块的长为120cm，120＜150，
而4块块B型板材块的长为160cm＞150cm，所以无法裁出4块B型板；
∴m=0，n=3；

（2）由题意得：共需用A型板材240块、B型板材180块，
又∵满足x+2y=240，2x+3z=180，
∴整理即可求出解析式为：y=120-x，z=60-x；

（3）由题意，得Q=x+y+z=x+120-x+60-x．
整理，得Q=180-x．
由题意，得
解得x≤90．
[注：事实上，0≤x≤90且x是6的整数倍]
由一次函数的性质可知，当x=90时，Q最小．
由（2）知，y=120-x=120-×90=75，z=60-x=60-×90=0；
故此时按三种裁法分别裁90张、75张、0张．