Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=10，点M在BC上，使得△ADM是正三角形，则△ABM与△DCM的面积和是    ．

Answer

补成正方形，相当于正方形中的内接正三角形，毫无疑问有：△ABM≌△AED，△CDM为等腰直角三角形，设MB=x，由勾股定理可得x的值．
【解析】
过A点作AE⊥CD交CD的延长线于E．

∵∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=10，
∴四边形ABCE是正方形．
∵△ADM是正三角形，
∴Rt△ABM≌Rt△AED，
∴∠ADE=∠AMB，
∴∠CDM=∠CMD，
∴CD=CM，
设MB=x，则ED=x，CD=CM=10-x．
得102+x2=2（10-x）2
解得x=20-10，x=20+10（不合题意舍去）
∴△ABM与△DCM的面积和=10×（20-10）÷2+（10-20+10）2÷2=300-150．