Question

（2008•昌平区二模）如图，已知△ABC的顶点B、C为定点，A为动点（不在直线BC上），B′是点B关于直线AC的对称点，C′是点C关于直线AB的对称点，连接BC′、CB′、BB′、CC′．
（1）猜想线段BC′与CB′的数量关系，并证明你的结论；
（2）当点A运动到怎样的位置时，四边形BCB′C′为菱形？这样的位置有几个？请用语言对这样的位置进行描述（不用证明）；
（3）当点A在线段BC的垂直平分线（BC的中点及到BC的距离为的点除外）上运动时，判断以点B、C、B′、C′为顶点的四边形的形状，画出相应的示意图．（不用证明）

Answer

在（1）中，根据题意结合图形可以很容易发现BC′=CB′．
（2）中BCB′C′为菱形，根据菱形的性质对角线互相垂直平分，而AC⊥BB′，AB⊥CC′，所以只要BB′与CC′相交于A点即可，即△ABC为直角三角形．
（3）分情况讨论可以得出结果．
【解析】
（1）猜想：BC′=CB′
∵B′是点B关于直线AC的对称点
∴AC垂直平分BB'
∴BC=B'C
同理BC=BC'
∴BC'=CB'

（2）要使BCB'C'是菱形
根据菱形的性质，对角线互相垂直平分
∵B′是点B关于直线AC的对称点，C′是点C关于直线AB的对称点
∴AC垂直平分BB'AB垂直平分CC'
∴BB'、CC'应该同时过A点
∴∠BAC=90°
∴只要AB⊥AC即可满足要求，这样的位置有无数个

（3）如图，当A是BC的中点时，没有形成四边形
当A到BC的距离为时
∵l是BC的垂直平分线
∴∠ACB=∠ABC=30°
∴∠BAC=120°
∴∠BOC=60°
∴BC=CB'=B'C'=BC'
∴BCB'C'为菱形
当BC的中点及到BC的距离为的点除外时
∵∠BOC=B'OC'OB=OC  OB'=OC'
∴∠OBC=∠OCB=∠OB'C'=∠OC'B'
∴BC∥B'C'
∵BC'不平行CB'BC'=CB'
四边形BCB'C'为等腰梯形．