Question

如图，AM是⊙O的直径，BC⊥AM，垂足为N，CD是弦，交AM和AB于点E、F．
①如果EN=NM，求证：CD⊥AB．
②如果弦CD交AB于点F，且CD=AB，求证：CE²=EF•ED．

Answer

①连接BM，据题中条件首先证明△CEN≌△BMN，得到∠MBC=∠ECB；据圆周角性质可得∠A=∠MBC=∠ECB，再由对顶角相等∠NEC=∠AEF，可得到在△AEF和△CNE中∠ENC=∠AFE=90°，即CD⊥AB．
②连接BD、BE、AC，首先证明△ABE≌△ACE，得∠ABE=∠ACD；再证明△BED∽△FEB，可得=，即得到BE2=EF•ED，即CE2=EF•ED．
证明：①连接BM，
∵AM是⊙O的直径，∴∠ABM=90°
∵BC⊥AM，∴BN=CN，∠ENC=∠BNM，
又EN=NM，∴Rt△CEN≌Rt△BMN，
∴∠MBC=∠ECB；
又∵BC⊥AM，∴=，∴∠A=∠MBC
∴∠A=∠EBC，
又∠NEC=∠AEF，
在△AEF和△CNE中∠ENC=∠AFE=90°，
即CD⊥AB．

②连接BD、BE、AC，
∵点E是BC垂直平分线AM上一点，
∴BE=EC；
∵CD=AB，
∴=，∴=，∴∠ACD=∠BDC，
∴△ABE≌△ACE，
∴∠ABE=∠ACD=∠BDC，∠BED是公共角，
∴△BED∽△FEB，
∴BE2=EF•ED，
∴CE2=EF•ED．