Question

（2009•武汉）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）连接OC交DE于点F，若OF=CF，求tan∠ACO的值．

Answer

（1）要证明直线DE是⊙O的切线，只要证明∠ODE=90°即可．
（2）作OH⊥AC于点H，由tan∠ACO=OH：HC，分别求得OH，HC的值可找出其关系即可得到tan∠ACO的值．
（1）证明：连接OD、OE、BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠CDB=∠ADB=90°，
∵E点是BC的中点，
∴DE=CE=BE．
∵OD=OB，OE=OE，
∴△ODE≌△OBE（SSS），
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∴直线DE是⊙O的切线．

（2）【解析】
作OH⊥AC于点H，
∵OA=OB，
∴OE∥AC，且OE=AC，
∴∠CDF=∠OEF，∠DCF=∠EOF；
∵CF=OF，
∴△DCF≌△EOF（AAS），
∴DC=OE=AD，
∴四边形CEOD为平行四边形，
∴CE=OD=OA=AB，
∴BA=BC，
∴∠A=45°；
∵OH⊥AD，
∴OH=AH=DH，
∴CH=3OH，
∴tan∠ACO=．