Question

如图，已知四边形ABCD的对角线AC=BD，AC⊥BD，四边形A₁B₁C₁D₁的四个顶点A₁、B₁、C₁、D₁分别为AB、BC、CD、DA的中点，四边形A₂B₂C₂D₂的四个顶点A₂、B₂、C₂、D₂分别为A₁B₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁A₁的中点，如果AC=2a，那么S_{四边形AnBnCnDn}=    ．

Answer

根据三角形的面积公式，可以求得四边形ABCD的面积是2a2；根据三角形的中位线定理，得A1B1∥AC，A1B1=AC，则△BA1B1∽△BAC，得△BA1B1和△BAC的面积比是相似比的平方，即，因此四边形A1B1C1D1的面积是四边形ABCD的面积的，即a2；推而广之，则S四边形AnBnCnDn=．
【解析】
∵四边形A1B1C1D1的四个顶点A1、B1、C1、D1分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴A1B1∥AC，A1B1=AC．
∴△BA1B1∽△BAC．
∴△BA1B1和△BAC的面积比是相似比的平方，即．
又四边形ABCD的对角线AC=BD=2a，AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积是2a2．
推而广之，则S四边形AnBnCnDn=．