Question

如图1，将斜边长为6cm的直角三角板放置在直角坐标系中，直角顶点与原点重合，直角边分别与x轴、y轴重合，且∠MNO=60°．将长和宽分别为6cm、2cm的直尺ABCD的长边与直线MN重合，其中C点与N点重合（如图2）．三角板固定不动，直尺以1cm/s的速度沿着直线MN向左上方滑动（如图3），直到C点与M点重合为止．设移动ts后，直尺和三角板重叠部分的面积为Scm²．
求：（1）直线MN的函数关系式；
（2）S与t之间的函数关系式，并求S的最大值．

Answer

（1）由题意斜边长为6cm的直角三角板且∠MNO=60°，可以很容易求出M、N的坐标，根据两点的坐标求出函数式．
（2）随着直尺的移动会出现三种情况，分类讨论：①重叠部分为30度角的直角三角形．②重叠部分为直角梯形．③重叠部分为五边形．比较3种情况的最大值．
【解析】
（1）∵直角三角形的斜边为6cm∠MND=60°
∴OM=cm  ON=3cm
∴M点坐标为（0，）  N点坐标为（3，0）
∴直线MN的函数关系式为y=x+

（2）
①重叠部分为30度角的直角三角形时：
S==
当D点到x轴时不再是30度角的直角三角形，
此时t=s
∴S=（0≤t≤）
②重叠部分为直角梯形时：S==
点D到Y轴时不再是直角梯形，此时t=6-s
∴S=（＜t≤6-）
③重叠部分为五边形时：S=
S=
C点与M点重合时，t=6
∴S=（6-＜t≤6）
综上所述，根据图形可以看出面积总是在增大，即当t=6时面积最大，为12-．