Question

如图，等边△ABC的边长为2，动点P，Q在线段BC上移动（都不与B，C重合），点P在Q的左边，PQ=1，过点P作PM⊥CB，交AC于M，过点Q作QN⊥CB，交AB于N，连接MN．记CP的长为t．
（1）当t为何值时，四边形MPQN是矩形？
（2）设四边形MPQN的面积为S，请说明当P，Q移动时，S是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请求出S关于t的函数关系式；
（3）当t取何值时，以点C，P，M为顶点的三角形与以A，M，N为顶点的三角形相似．判断此时△MNP的形状，并请说出理由．

Answer

（1）可用两种方法：
①根据△ABC是等边三角形及PM⊥CB，QN⊥CB且PM=NQ，得出△MPC≌△NQB，从而求出t的值；
②由于四边形MPQN是矩形，所以在MPQN中PM=NQ，据此列出关于t的等式，解方程即可．
（2）根据（1）中所求PM、QN的表达式，利用梯形面积表达式即可求出S关于t的函数关系式；
（3）根据对应点和对应边的不同，会得到不同的相似三角形，再分两种情况讨论．
【解析】
（1）解法一：∵四边形MPQN是矩形，
∴PM=NQ，（1分）
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
又∵PM⊥CB，QN⊥CB，
∴∠MPC=∠NQB=90°，
∴△MPC≌△NQB，
∴CP=BQ=t，
又∵PQ=1，CP+PQ+BQ=2，
∴t+1+t=2，即t=；
解法二：∵△ABC是等边三角形，PM⊥CB，QN⊥CB，
∴∠B=∠C=60°，
在Rt△CPM和Rt△BQN中，
∵CP=t，BQ=1-t，
∴PM=CP•tanC=t•tan60°=t，
QN=BQ•tanB=（1-t）tan60°=（1-t），
∵四边形MPQN是矩形，
∴PM=NQ，（1分）
即：，
解得：；

（2）S是定值，同（1）中解法二有：∴，
∴；（2分）

（3）∵△CMP是Rt△，且∠CPM=90°，∠C=60°，△AMN中∠A=60°，
若使△CMP与△AMN相似，对应的顶点只能是：C→A，P→N，M→M或C→A，P→M，M→N，（1分）
①当C→A，P→N，M→M时，由△CMP∽△AMN得：
∵CM=2t，BN=2（1-t）
∴AM=2-2t，AN=2-2（1-t）=2t，
∴，
解得：；（1分）
②当C→A，P→M，M→N时，由△CMP∽△ANM得：，
∴，解得：，
综合，所求或．
当t=时，都有AM=CP=BN，AN=CM=BP，
且∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ANM≌△CMP≌△BPN，
∴NM=MP=PN即△MNP是等边三角形．