Question

（2009•长沙）如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接AC、BC，A、C两点的坐标分别为A（-3，0）、C（0，），且当x=-4和x=2时二次函数的函数值y相等．
（1）求实数a，b，c的值；
（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为项点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）由题意和图形可求出函数的表达式；
（2）结合抛物线内部几何关系和性质求出t值及P点坐标；
（3）假设成立（1）若有△ACB∽△QNB则有∠ABC=∠QBN，寻找相似条件，判断是否满足．
【解析】
（1）∵C（0，）在抛物线上
∴代入得c=，
∵x=-4和x=2时二次函数的函数值y相等，
∴顶点横坐标x==-1，
∴，
又∵A（-3，0）在抛物线上，
∴=0
由以上二式得a=，b=，c=；

（2）由（1）y==
∴B（1，0），
连接BP交MN于点O1，根据折叠的性质可得：01也为PB中点．
设t秒后有M（1-t，0），N（1-，），O1）
设P（x，y），B（1，0）
∵O1为P、B的中点可得，，即P（）
∵A，C点坐标知lAC：y=，P点也在直线AC上代入得t=，
即P（）；

（3）假设成立；
①若有△ACB∽△QNB，则有∠ABC=∠QBN，
∴Q点在x轴上，AC∥QN但由题中A，C，Q，N坐标知直线的一次项系数为：
则△ACB不与△QNB相似．
②若有△ACB∽△QBN，则有…（1）
设Q（-1，y），C（0，），A（-3，0），B（1，0），N（）
则CB=2，AB=4，AC=2
代入（1）得
y=2或．
当y=2时有Q（-1，2）则QB=4⇒不满足相似舍去；
当y=时有Q（-1，）则QB=⇒．
∴存在点Q（-1，）使△ACB∽△QBN．
综上可得：（-1，）．