Question

（2009•绵阳）已知抛物线y=ax²-x+c经过点Q（-2，），且它的顶点P的横坐标为-1．设抛物线与x轴相交于A、B两点，如图．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求A、B两点的坐标；
（3）设PB于y轴交于C点，求△ABC的面积．

Answer

（1）横坐标为-1，那么-=-1，再把点Q坐标代入即可．
（2）与x轴的交点，此时，函数值y=0，可化为一元二次方程求解．
（3）易求得AB之间的距离，可设出一次函数的解析式，把P、B坐标代入即可求得过P、B的解析式，与y轴的交点就是OC的长．
【解析】
（1）由题意得，
解得a=-，c=．
∴抛物线的解析式为y=-x2-x+．

（2）把y=0代入y=-x2-x+得：-x2-x+=0，
整理得x2+2x-3=0．
变形为（x+3）（x-1）=0，
解得x1=-3，x2=1．
∵抛物线与x轴的交点A点在x轴负半轴，B点在x轴正半轴，
∴A（-3，0），B（1，0）．

（3）将x=-l代入y=-x2-x+中，
得y=2，即P（-1，2）．
设直线PB的解析式为y=kx+b，
将P（-1，2），B（1，0）代入得：，
解得：k=-1，b=1．
即直线PB的解析式为y=-x+1．
把x=0代入y=-x+1中，则y=1，即OC=1．
又∵AB=AO+OB=1+3=4，
∴S△ABC=×AB×OC=×4×1=2，即△ABC的面积为2．