Question

（2009•乐山）如图在梯形ABCD中，DC∥AB，∠A=90°，AD=6厘米，DC=4厘米，BC的坡度i=3：4，动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿B⇒C⇒D方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t秒．
（1）求边BC的长；
（2）当t为何值时，PC与BQ相互平分；
（3）连接PQ，设△PBQ的面积为y，探求y与t的函数关系式，求t为何值时，y有最大值？最大值是多少？

Answer

（1）作CE⊥AB于E，根据坡度的定义进行求解；
（2）要使PC与BQ相互平分，只需保证四边形CPBQ是平行四边形，即可得到关于t的方程，进行求解；
（3）此题要分两种情况考虑：点Q在BC上，即0≤t≤3时；当点Q在CD上，即3＜t≤4．
根据三角形的面积公式建立函数关系式，再进一步求解．
【解析】
（1）作CE⊥AB于E，则四边形ADCE是矩形．
则CE=AD=6．
又BC的坡度i=CE：BE=3：4，且BE⊥CE，
则CE：BC=3：5，
则BC=10；

（2）要使PC与BQ相互平分，只需保证四边形CPBQ是平行四边形，即PB=CQ．
由（1），得AB=4+8=12，则PB=12-2t．
则12-2t=3t-10，
t=4.4．

（3）当0≤t≤3时，则BP=12-2t，QF=×3t=t，
y=×t（12-2t）=-t2+t，
当t=3时，y最大，是16.2；
当3＜t≤4时，则y=×6×（12-2t）=-6t+36，
则t=3时，y最大，是16．
综上所述，则当t=3时，y最大，是16.2．