Question

如图1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，CD=3，AD=4，tanB=2，过点C作CH⊥AB，垂足为H．点P为线段AD上一动点，直线PE∥AB，分别交BC、CH于点E、Q．以PE为斜边向右作等腰Rt△PEF，直线EF交直线AB于点M，直线PF交直线AB于点N．设PD的长为x，MN的长为y．
（1）求PE的长（用x表示）；
（2）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围（图2为备用图）；
（3）当点M在线段AH上时，求x的取值范围（图3为备用图）．

Answer

（1）已知了PD的长为x，即CQ=x，结合∠B的正切值即可求得EQ的长，进而由PE=PQ+EQ求得PE表达式．
（2）此题分两种情况讨论：
①点N在矩形ADCH的内部，可过F作AH、PQ的垂线，设垂足为K、G；易知△MNF是等腰直角三角形，欲求MN，只需求出FK即可，已知了PE的表达式，即可得到FG的表达式，而KG的长易知，即可得到KF的值，由此求得y、x的函数关系式；
②当点N在矩形的外部时，那么△KMH、△ANP都是等腰直角三角形，欲求MN，需求出HM、AN，即KH、AP的长，AP的长易知，关键是KH的值；在等腰Rt△EQK中，QK=QE，即可得到KQ的长，而CQ=PD=x，由此可得KH的表达式，即可求出MN的长，从而求得y、x的函数关系式．
（3）首先由M、A重合时求得求得KH的表达式，当M从A移动到H时，此时K也与H重合，由此可得KH的取值范围，联立KH的表达式即可得到x的取值范围．
【解析】
（1）∵矩形ADCH，PE∥AB，
∴四边形CDPQ为矩形，
∴PQ=CD=3，CQ=PD=x；
∵PE∥CD，∴∠CEP=∠B，∴tan∠CEP==2；
∴EQ=，∴PE=3+．

（2）当点N在线段AH上时，过点F作FG⊥EP于G，GF的延长线交AB于点K；
∵等腰Rt△PEF，FG=EP=（3+）=+，
∴FK=AP-FG=（4-x）-（+）=-x；
∴y=2FK=5-x；
∵PD+FG≤AD，∴x+（3+）≤4，
∴0≤x≤2．
当点N在矩形ADCH外部时，由题意得：
AH=3，AP=4-x，QK=QE=，∠HKM=∠HMK=45°；
∴KH=MH=4-x-=4-x；
同理：AP=AN=4-x，
∴y=AH-AN-HM=3-（4-x）-（4-x），即y=x-5；
∵PD≤4，∴2＜x≤4．

（3）如图，当M、A重合时，AH=HK=3，QE=QK=；
∴HK=AP-QK=（4-x）-x=4-x，
当点M从点A移动到点H时，K与H重合，即0≤KH≤3；
∴0≤4-x≤3，解得：≤x≤；
即当点M在线段AH上时，x的取值范围是≤x≤．