Question

如图1，在Rt△ABC中，AB=AC=3，BD为AC边的中线，AB₁⊥BD交BC于B₁，B₁A₁⊥AC于A₁．
（1）求AA₁的长；
（2）如图2，在Rt△A₁B₁C中按上述操作，则AA₂的长为______；
（3）在Rt△A₂B₂C中按上述操作，则AA₃的长为______；
（4）一直按上述操作得到Rt△A_n-1B_n-1C，则AA_n的长为______．

Answer

（1）根据等角的余角相等，得∠A1AB1=∠ABD，从而根据两角对应相等，证明△A1AB1∽△ABD．设A1A=x，则A1B1=A1C=3-x，根据相似三角形的性质即可求解．
（2）根据（1）的求解过程，易知A1A2是1的，从而求解；
（3）、（4）根据（1）、（2）的结论，即可推而广之．
【解析】
（1）∵在Rt△ABC中，AB=AC=3，BD为AC边的中线，
∴AD=．
∵在Rt△ABC中，AB1⊥BD，
∴∠A1AB1=∠ABD，
∴△A1AB1∽△ABD．
根据题意，易知△A1B1C是等腰直角三角形．
设A1A=x，则A1B1=A1C=3-x，
∴，
即，
解得x=2．
即AA1=2．

（2）根据（1）的求解过程，得A1A2=，
则AA2=．

（3）根据（2）、（3）的结论，推而广之，则AAn=．