Question

△ABC与△ADE具有公共顶点A，∠EAD=∠CAB，AD=AC=m，∠AED+∠ABC=180°．
（1）如图1，当AC与AD重合，∠EAD=∠CAB=60°时，猜想AE+AB与m的关系，并证明；
（2）如图2，当AC与AD不在同一条直线上，∠EAD=∠CAB=30°，则AE+AB与m的关系为______；
（3）在（2）的基础上，将“∠EAD=∠CAB=30°”改为“∠EAD=∠CAB=α”，探究AE+AB与m的关系，并证明．

Answer

此题三个小题的思路是一致的，需要通过构造全等三角形来求解；首先延长AE到F，连接DF，使得∠F=∠BAC；那么可通过证△DEF≌△CBA来得到AB=EF，而∠F=∠BAC=∠DAE，即AD=DF，△ADF是等腰三角形，已知AD的长和∠EAD的度数，即可通过解直角三角形求得AF的表达式，即AE+AB的值．
【解析】
（1）如图（1）；
延长AE至F，使∠F=∠EAD=∠BAC，连接DF；

∵∠FED=∠ABC=180°-∠AED，∠F=∠BAC，AD=AC，
∴△EFD≌△BAC，
∴AB=EF，即AB+AE=AF；
过D作DG⊥AF于G，则AB+AE=AF=2AG；
Rt△ADG中，AG=AD•cosα=m•cosα；
∴AB+AE=2m•cosα；
当α=60°时，AB+AE=2m×=m，即AB+AE=m．

（2）当α=30°时，AB+AE=2m•cos30°，故AB+AE=m．

（3）AE+AB=2m•cosα．
证法同（1）．