Question

如图1，正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别为2和3，且点B、C、G在同一条直线上，P是线段AE的中点，连接PF、PD．

（1）探究PF与PD的关系；
（2）将正方形ABCD沿着CF所在的直线平移，设平移的距离为|x|（向上平移为正，向下平移为负），线段PF的长为y，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．（图2、3为操作备用图）

Answer

（1）延长FP交AD的延长线与M，再由相似三角形的判定定理求出△EFM≌△AMH，DM=DF，求出△DMF是等腰直角三角形，再由等腰三角形斜边的中线等于斜边的一半解答即可；
（2）作出辅助线PK、DK、DP，求∠K的度数，再根据三角形的面积公式建立等式，求出y与x的函数关系式．
【解析】
（1）延长FP交AD的延长线与M，
∵正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是2和3，
∴FD=1，
∵EF∥AM，P是线段AE的中点，
∴△EFP≌△AMP，
∴PM=PF，
∵AM=EF=3，AD=2，
∴DM=DF=1，
∴△DMF是等腰直角三角形，
∵PM=PF，
∴DP是△FDM的中线，
∴DP=FM=PF．

（2）如图所示，将正方形ABCD沿着CF所在的直线平移，延长FP与AD的延长线相交于K，连接CP．
因为P为AE的中点，则BP=EP，
又因为∠EFD=∠AKP，∠FPE=∠KPA，
所以△EFP≌△AKP，
又因为△FCK为直角三角形，所以CP=CK=PK=PF，
于是∠K=60°．
FD=3-（2-|x|）=1+|x|，
于是y（|x|+1）=y•2ysin60°，
整理得y=|x|+（x为任意数）．