Question

如图所示：△ABC中，CA=CB，点D为AB上一点，∠A=∠PDQ=α．
（1）如图1，若点P、Q分别在AC、BC上，AD=BD，问：DP与DQ有何数量关系？证明你的结论；
（2）如图2，若点P在AC的延长线上，点Q在BC上，AD=BD，则DP与DQ有何数量关系？如图3，若点P、Q分别在AC、CB的延长线上，AD=BD，则DP与DQ有何数量关系？请在图2或图3中任选一个进行证明；
（3）如图4，若，作∠PDQ=2a，使点P在AC上，点Q在BC的延长线上，完成图4，判断DP与DQ的数量关系，证明你的结论．

Answer

（1）此题应分两种情况讨论，
①DP⊥AC，DQ⊥BC，显然此时△ADP≌△BDQ，得DP=DQ；
②DP、AC不垂直，DQ、BC不垂直，那么需要通过构造全等三角形来求解；仿照①的思路，可过D作AC、BC的垂线，设垂足为M、N，由①知DM=DN，然后通过证△DMP≌△DNQ来得到DP=DQ的结论．
（2）图2、图3的证法与（1）②的思路完全一样，都需要过D作AC、BC的垂线，通过构造的全等三角形来得到DP、DQ的数量关系．
（3）此题依然要沿用前面两问的思路；过D作AC、BC的垂线，DM、DN；然后通过两步相似来求解，首先通过△ADM∽△BDN来得到DM、DN的比例关系，然后通过△DMP∽△DNQ来得到DP、DQ的数量关系．
【解析】
（1）分两种情况：
①当DP⊥AC，DQ⊥BC时，
∵∠A=∠B，∠APD=∠BQD=90°，AD=BD，
∴△ADP≌△BDQ，∴DP=DQ；
②当DP、AC不垂直，DQ、BC不垂直时；
如图1，过D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，由①可得DM=DN；
在四边形CMDN中，∠DMC=∠DNC=90°，∴∠MDN+∠MCN=180°；
又∵∠MCN+2∠A=180°，∴∠MDN=∠PDQ=2∠A=2α；
∴∠PDM=∠QDN=2α-∠MDQ，
又∵∠DMP=∠DNQ=90°，DM=DN，
∴△DMP≌△DNQ，得DP=DQ；
综合上面两种情况，得：当点P、Q分别在AC、BC上，且AD=BD时，DP、DQ的数量关系为：相等．

（2）图2、图3的结论与图1的完全相同，证法一致；以图2为例进行说明：
图2中，过D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，则DM=DN；
同（1）可得：∠MDN=∠PDQ=2α，则∠PDM=∠QDN=2α-∠PDN，
又∵∠DMP=∠DNQ=90°，DM=DN，
∴△DMP≌△DNQ，得DP=DQ；
图3的证法同上；
所以在图2、图3中，（1）的结论依然成立，即DP、DQ的数量关系为：相等．

（3）DP、DQ的数量关系为：DP=nDQ，理由如下：
如图4，过D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N；
∵∠A=∠B，∠AMD=∠BND=90°，
∴△ADM∽△BDN，
∴，即AD=nBD；
同上可得：∠MDN=∠PDQ=2∠A=2α；
∴∠MDP=∠NDQ=2α+∠NDP，
又∵∠DMP=∠DNQ=90°，
∴△DMP∽△DNQ，得：，即DP=nDQ；
所以在（3）题的条件下，DP、DQ的数量关系为：DP=nDQ．