Question

如图，抛物线y=ax²+k（a≠0）的顶点为A，点B坐标为（0，2k），点P为抛物线上任意一点，作PC⊥x于点C，连接PB．
（1）当k=1，且PC=PB时，求a的值；
（2）当k=-1，且PC=PB时，求a的值；
（3）猜想当a与k满足怎样的关系时，PC与PB的长相等？并说明理由．

Answer

此题的三个小题解法是一致的，可先设出点P的坐标（设横坐标，根据抛物线解析式表示纵坐标），根据坐标系两点间距离公式求得PB2的值，而PC2的长易得，根据PC=BP这个等量关系，可列方程求出a、k的关系式或a的值．
【解析】
设点P（x，ax2+k），则：
PC2=（ax2+k）2=a2x4+2akx2+k2，PB2=x2+（ax2+k-2k）2=a2x4+（1-2ak）x2+k2；
当PC=PB时，a2x4+2akx2+k2=a2x4+（1-2ak）x2+k2，
即（4ak-1）x2=0，即ak=；
故（1）当k=1，且PC=PB时，a=；

（2）当k=-1，且PC=PB时，a=-；

（3）当a、k满足ak=时，PC、PB的长相等．