Question

如图1，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，OB=4，以O点为原点，OB边所在直线为x轴，建立直角坐标系．在x轴上取一点D（2，0），作一个边长为2的等边△PDE，此时P点与O点重合，E点在线段AB上（如图）．将△PDE沿x轴向右平移，直线AB与直线ED交于点F，回答下列问题：
（1）找出一条与OP始终相等的线段，并说明理由；
（2）设点P与原点的距离为x，此时等边△PDE与Rt△AOB重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（图2，图3为备用图）

Answer

（1）设出E点的坐标，从而表示出点P、F的坐标，求出线段EF的长度恰好等于OP；
（2）0≤x≤2时，设PE交AB于G，证明得出△GFE为直角三角形，又因为OP=EF，从而求出S△GFE，阴影部分面积即为S△EPD-S△GFE；2＜x≤4时，重叠部分为直角△PGB的面积，由OP=x，得到PB=4-x，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出PG的长，再利用30°的余弦函数值求出GB的长，利用直角边乘积的一半即可求出面积；x＞4时△EFG在△AOB之外，y=0．
【解析】
（1）与OP始终相等的线段为EF，
证明：设等边△PDE运动到某位置时E点坐标为（x1，）（x1≥1），
则P（x1-1，0），则OP=x1-1，
∵∠EDP=60°，E在直线ED上，
∴ED的解析式为y=-（x-x1）+，
由题意可得直线AB的解析式为y=，
则直线AB和直线ED的交点F的坐标为（，-），
则EF==x1-1=OP，
∴与OP始终相等的线段为EF；

（2）设PE交AB与点G，由题意可知△PDE的面积为，
当0≤x≤2时，在图1中∠EPB+∠GBP=60°+30°=90°，
∴PE⊥AB，
∴△EFG为直角三角形，
∵∠E=60°，EF=OP=x，
∴∠EFG=30°，
∴GE=x，GF=x，
∴S△EFG=×EG×GF=×x×x=x2，
∴等边△PDE与Rt△AOB重叠部分的面积y=S△EPD-S△GFE，即y=（0≤x≤2）；
当2＜x≤4时，等边△PDE与Rt△AOB重叠部分的面积为S△PGB，
OP=x，则PB=4-x，所以PG=，GB=，且△PGB为直角三角形，
所以S△PGB=××=；
当x＞4时，两个三角形相离，故y=0．