Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=20cm，AD=40cm，∠D=120°，点P、Q同时从C点出发，分别以2cm/s和1cm/s的速度沿着线段CB和线段CD运动，当Q到达点D，点P也随之停止运动．设运动时间为t（s）
（1）当t为何值时，△CPQ与△ABP相似；
（2）设△APQ与梯形ABCD重合的面积为S（cm²），求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

Answer

（1）过点A、D分别作BC边上的垂线，垂足分别为E、F，根据等腰梯形及直角三角形的性质求得BC=60，再由相似三角形的性质：对应边成比例来求解；
（2）在直角三角形中求得梯形的高AE=10，进而求得S△ABP，S△ADQ，S△PCQ，S梯形ABCD；S△APQ=S梯形ABCD-S△ABP-S△ADQ-S△PCQ．
【解析】
（1）过点A、D分别作BC边上的垂线，垂足分别为E、F．
∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴AE⊥BC，DF⊥BC，
∴四边形AEFD是矩形，
∵∠D=120°，
∴∠BAE=120°-90=30°；
又∵AB=CD=20cm，
∴BE=CF=10cm，
∵AD=40cm，
∴EF=AD=40cm，
∴BC=40+10+10=60（cm），
∵△QCP∽△ABP，
∴=，即=，解得t=10，
∴当t为10时，△CPQ与△ABP相似．

（2）由（1）知∠BAE=30°，
∵AB=20，
∴AE=10；
∵S△ABP=（60-2t）×，S△ADQ=×40×（10-），S△PCQ=×2t×t，
S梯形ABCD=×（40+60）×=500，
∴S△APQ=S梯形ABCD-S△ABP-S△ADQ-S△PCQ=-t2，即S=-t2，
∵当Q到达点D，点P也随之停止运动，
∴解得0＜t＜20，即S=-t2（0＜t＜20）．