Question

如图所示，一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCO的三边组成，隧道的最大高度为4.9m，AB=10m，BC=2.4m，现把隧道的横断面放在平面直角坐标系中．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若有一辆高4m，宽为2m的装有集装箱的汽车要通过隧道，如果不考虑其它因素，汽车的右侧离开隧道右壁多少米才不至于碰到隧道的顶部（抛物线部分为隧道顶部，AO、BC为壁）？

Answer

（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx，根据题意解出a、b，抛物线顶点坐标为（5，2.5）且过（0，0）点，设抛物线的解析式为y=a（x-5）2+2.5，可求出a的值，确定表达式．
（2）由（1）得抛物线解析式，若汽车的右侧离开隧道右壁不至于碰到隧道的顶部，则令y=1.6，解得x．
【解析】
（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx，
由题意知，隧道的最大高度为4.9m，AB=10m，BC=2.4m，
由题意可知，抛物线的顶点坐标为（5，2.5），且过（0，0）点，把（0，0）点代入得：25a+2.5=0，
∴a=-0.1，
∴抛物线的解析式为y=-0.1（x-5）2+2.5，

（2）当DE=2时，AD=5-2=3，
当x=3时，y=2.1，即DG=4.5，
当y=4-2.4=1.6时，-0.1（x-5）2+2.5=1.6，∴x1=2，x2=8．
若汽车的右侧离开隧道右壁不至于碰到隧道的顶部，
则令y=1.6，
解得x=2或x=8，
要使汽车的右侧离开隧道右壁不至于碰到隧道的顶部，
故汽车的右侧离开隧道右壁2米才不至于碰到隧道的顶部．