Question

如图1，△DEF的顶点D在△ABC的边BC上（不与B、C重合），且∠BAC+∠EDF=180°，AB=k•DF，AC=k•DE，点Q为EF的中点，直线DQ交直线AB于点P．
（1）猜想∠BPD与∠FDB的关系，并加以证明；
（2）当△DEF绕点D旋转，其他条件不变，（1）中的结论是否始终成立？若成立，请你写出真命题；若不成立请你在图2中画出相应的图形，并给出正确的结论（不需要证明）．

Answer

（1）此题要通过构造相似三角形求解；延长ED到M，使得ED=DM，根据AB、DF以及AC、DM的比例关系，即可证得△BAC∽△FDM，得∠M=∠C，设DE与AB的交点为G，DF与AC的交点为N，则∠AND=∠FDC+∠C，而根据∠BAC+∠EDF=180°可证得A、G、D、M四点共圆，即∠BGD=∠BPD+∠EDQ，而DQ是△EMF的中位线，可得DQ∥MF，即∠EDQ=∠M=∠C，通过等量代换，可证得∠BPD=∠FDC，即∠BPD与∠FDB互补．
（2）当点Q在直线BC的上方时，（1）的结论依然成立，但是当点Q在直线BC的下方时，情况有所不同；
思路同（1），仍然是延长ED到M，使得ED=DM，同（1）证得△FDM∽△BAC，设直线DF与AB的交点为H，那么有DQ∥MF可得：∠F=∠B=∠QDF=∠HDP，根据三角形的外角性质得：∠FDB=∠BHD+∠B，∠BPD=∠BHD+∠PDH，通过等量代换即可证得∠FDB=∠BPD．
【解析】
（1）∠BPD与∠FDB的关系是互补；
证明：如图1，延长ED至M，使得DM=DE，连接FM；
则∠BAC=∠FDM=180°-∠EDF；
∵AB=k•DF，AC=k•DE，即，
∴，
∴△BAC∽△FDM，得∠M=∠C；
由于D、Q分别是EM、EF的中点，所以DQ是△EMF的中位线，得：
DQ∥MF，则∠M=∠1=∠C；
∵∠BAC+∠EDF=180°，
∴A、D、G、H四点共圆，得∠3=∠2；
由三角形的外角性质知：∠3=∠1+∠BPD，∠2=∠HDC+∠C；
∵∠1=∠C，∠3=∠2，
∴∠BPD=∠HDC，即∠BPD与∠FDB互补．

（2）分两种情况讨论：
①当点Q在直线BC上方时，结论与（1）相同，证法一致；
②当点Q在直线BC下方时，如图2；
延长ED至M，使得DM=DE，连接FM；
同（1）可证得：△FDM∽△BAC，得∠7=∠B；
延长FD交AB于H，则∠4=∠6；
同（1）可知：DQ是△EMF的中位线，得：∠7=∠6=∠4，故∠B=∠4；
由三角形的外角性质知：∠BPD=∠5+∠4，∠FDB=∠B+∠5，
∴∠BPD=∠FDB；
综上可知：当点Q在直线BC上方时，∠BPD、∠FDB互补；当点Q在直线BC下方时，∠BPD、∠FDB相等．