Question

如图1，△ABC与△DEF中，AB=AC，D为BC的中点，∠EDF+∠BAC=180°，直线DF、DE分别交直线AB、AC于点P、Q．
（1）如图2，∠BAC=60°，猜想BP+QC与BC的关系，并说明理由；
（2）当∠BAC=120°，BP+QC与BC的关系为______；
（3）当∠BAC=α，探究BP+QC与BC的关系，并说明理由；
（4）如图3，当△DEF绕点D旋转时，其他条件不变，（3）中的结论是否一定成立？若成立，请你写出一个真命题；若不成立，请你画图说明．

Answer

此题四个小问的思路是一致的，需要通过两步全等来求解．首先过D分别作AB、AC的垂线DM、DN，易证得△BDM≌△CDN，得DM=DN；在四边形DMAN中，由于∠DMA、∠DNA都是直角，易证得∠MDN+∠MAN=180°，即∠MDN=∠PDQ，两角减去（或加上）一个同角后仍然相等，即∠MDP=∠NDQ，由此可证得△MDP≌△NDQ，得MP=NQ，那么BP+QC即可转化为2BM的长．
在Rt△BDM中，∠B=（180°-α），即可利用∠B的余弦函数，用BC表示出BM的长，由此得解．
【解析】
（1）BP+QC=BC；理由如下：
过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，则∠MDN=∠PDQ=180°-∠BAC．
∵∠B=∠C，BD=DC，∠DMB=∠DNC，
∴△BDM≌△CDN，得DM=DN，BM=NC．
∵∠MDP=∠MDN-∠PDN，∠NDQ=∠PDQ-∠PDN，且∠MDN=∠PDQ，
∴∠MDP=∠NDQ．
又∵∠DMP=∠DNQ=90°，DM=DN，
∴△DMP≌△DNQ，得 MP=NQ．
∴BP+QC=BM+MP+NC-NQ=2BM．
Rt△BDM中，∠B=60°，则BM=BD•cos∠B=BD，
∴BP+QC=2BM=×2BD=BC．

（2）BP+QC=BC．（证法可参照（1）（3）．）

（3）BP+QC=BC•cos（90°-α）．
解法同（1），过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，则∠MDN=∠PDQ=180°-∠BAC．
∵∠B=∠C，BD=DC，∠DMB=∠DNC，
∴△BDM≌△CDN，得 DM=DN，BM=NC．
∵∠MDP=∠MDN-∠PDN，∠NDQ=∠PDQ-∠PDN，且∠MDN=∠PDQ，
∴∠MDP=∠NDQ，
又∵∠DMP=∠DNQ=90°，DM=DN，
∴△DMP≌△DNQ，得 MP=NQ．
∴BP+QC=BM+MP+NC-NQ=2BM．
Rt△BDM中，∠B=（180°-α）=90°-α，则BM=BD•cos∠B=BD•cos（90°-α）；
∴BP+QC=2BM=2BD•cos（90°-α）=BC•cos（90°-α）．
（4）当P、Q分别在线段BA、AC上时，（3）的结论依然成立，
即BP+QC与BC的关系为：BP+QC=BC•cos（90°-α）．（证法同（3）．）
当P、Q在BA、AC的延长线上时，（3）的结论不成立．
如图3，同（3）可得：BM=NC，MP=NQ．
∴BP+CQ=BM+MP+NQ-NC=BM+MP+BM-MP=2BM=2NQ．
因此（3）的结论不成立．