Question

如图（1），∠ABC=90°，O为射线BC上一点，OB=4，以点O为圆心，长为半径作⊙O交BC于点D、E．
（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时第一次与⊙O相切？请说明理由；
（2）若射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°时与⊙O相交于M、N两点，如图（2），求线段MN与所围成图形的面积．

Answer

（1）当AB与⊙O第一次相切时，点O在射线BA的距离等于⊙O的半径，即O到射线BA的距离为2，此时sin∠ABO=，可据此求出旋转的角度．
（2）所求的面积是弓形MN的面积，需要先求出圆心角∠MON的度数；过O作OP⊥AB于P，易知∠ABO=30°，即可求得OP的长，进而可在Rt△OPM中，求得∠MOP、∠NOP的度数，即可得圆心角∠MON的度数，然后分别求出扇形MON、△MON的面积，它们的面积差即为所求弓形的面积．
【解析】
（1）若射线BA与⊙O相切，则圆心O到射线BA的距离等于⊙O的半径长，即2；
此时sin∠ABO==，即∠ABO=45°；
因此当射线BA绕点B按顺时针方向旋转45°时第一次与⊙O相切．

（2）过O作OP⊥AB于P；
在Rt△BOP中，∠OBP=30°，OB=4，则OP=2；
在Rt△MOP中，OM=2，OP=2，则MP=OP=2，∠OMP=45°；
∴△MON是等腰直角三角形，且MN=4，OP=2；
S弓形MN=S扇形MON-S△MON=-×4×2=2π-4；
即线段MN与所围成图形的面积为：2π-4．