Question

（2010•密云县）如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）求sin∠E的值．

Answer

（1）求证直线EF是⊙O的切线，只要连接OD证明OD⊥EF即可；
（2）根据∠E=∠CBG，可以把求sin∠E的值得问题转化为求sin∠CBG，进而转化为求Rt△BCG中，两边的比的问题．
（1）证明：方法1：连接OD、CD．
∵BC是直径，
∴CD⊥AB．
∵AC=BC．
∴D是AB的中点．
∵O为CB的中点，
∴OD∥AC．
∵DF⊥AC，
∴OD⊥EF．
∴EF是O的切线．
方法2：∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC，
∵OB=OD，
∴∠DBO=∠BDO，
∵∠A+∠ADF=90°
∴∠EDB+∠BDO=∠A+∠ADF=90°．
即∠EDO=90°，
∴OD⊥ED
∴EF是O的切线．

（2）【解析】
连BG．
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°．
∴CD==8．
∵AB•CD=2S△ABC=AC•BG，
∴BG=．
∴CG=．
∵BG⊥AC，DF⊥AC，
∴BG∥EF．
∴∠E=∠CBG，
∴sin∠E=sin∠CBG=．