Question

（2007•南通）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=，D、E两点分别在AC、BC上，且DE∥AB，CD=．将△CDE绕点C顺时针旋转，得到△CD′E′（如图②，点D′、E′分别与点D、E对应），点E′在AB上，D′E′与AC相交于点M．
（1）求∠ACE′的度数；
（2）求证：四边形ABCD′是梯形；
（3）求△AD′M的面积．

Answer

（1）根据已知条件容易知道△EDC是等腰直角三角形，也容易求出CE，然后在Rt△ACE′解直角三角形就可以求出∠ACE，
（2）根据（1）的结论和已知条件可以证明△D′CA∽△E′CB，再利用相似三角形的性质就可以证明四边形ABCD′是梯形；
（3）AD′M的面积不能直接求出，要采用面积的割补法，首先确定S△AD′M=S△ACF-S△DCF-S△CD′M，然后分别求出
它们的面积，其中求S△C′DM比较复杂，还要利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方这个结论，最后才能求出△AD′M的面积．
（1）【解析】
如图1，∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵DE∥AB，
∴∠DEC=∠DCE=45°，∠EDC=90°，
∴DE=CD=2，
∴CE=CE′=4．（1分）
如图2，在Rt△ACE′中，∠E′AC=90°，AC=2，CE′=4，
∴cos∠ACE′=
∴∠ACE′=30°．（3分）

（2）证明：如图2，∠D′CE′=∠ACB=45°，∠ACE′=30°，
∴∠D′CA=∠E′CB=15°，
又，
∴△D′CA∽△E′CB．（5分）
∴∠D′AC=∠B=45°，
∴∠ACB=∠D′AC，
∴AD′∥BC．（7分）
∵∠B=45°，∠D′CB=60°，
∴∠ABC与∠D′CB不互补，
∴AB与D′C不平行．
∴四边形ABCD′是梯形．（8分）

（3）【解析】
在图②中，过点C作CF⊥AD′，垂足为F．
∵AD′∥BC，
∴CF⊥BC．
∴∠FCD′=∠ACF-∠ACD′=30°．
在Rt△ACF中，AF=CF=，
∴S△ACF=3，
在Rt△D′CF中，CD′=2，∠FCD′=30°，
∴D′F=，
∴S△D′CF=．
同理，SRt△AE′C=2，SRt△D′E′C=4．（10分）
∵∠AME′=∠D′MC，∠E′AM=∠CD′M，
∴△AME′∽△D′MC．．（11分）

①∴S△AE′M=S△CD′M．
②∵S△EMC+S△AE′M=S△AE′C=2，
③S△E′MC+S△CD′M=S△D′EC=4．
由③-②，得S△C′DM-S△AE′M=4-2，
由①，得S△CD′M=8-4，
∴S△AD′M=S△ACF-S△DCF-S△CD′M=3-5．
∴△AD′M的面积是-5．（12分）