Question

（2011•历城区一模）如图，在△ABC中，AC=2，BC=3，AB=4，D是BC边上一点，直线DE∥AC交BC于D，交AB于E，CF∥AB交直线DE于F．
（1）求证：△CFD∽△BAC；
（2）设CD=x，ED=y，求y与x的函数关系式；
（3）若四边形EACF是菱形，求出DE的长．

Answer

（1）已知EF∥AC，则内错角∠FDC=∠BCA；同理可根据CF∥AB证得∠B=∠FCD，则△BAC和△CDF中，两组对应角相等，即可判定两个三角形相似；
（2）根据相似三角形得出的对应边成比例线段，即可求出y、x的函数关系式；
（3）若四边形EACF是菱形，则CF=AC=2；可用DE表示出DF的长，然后根据（1）的相似三角形得出的关于DF、AC、CF、AB的比例关系式求出DE的长．
【解析】
（1）∵EF∥AC，
∴∠FDC=∠BCA（2分）
∵AE∥CF，
∴∠FCD=∠B
∴△CFD∽△BAC；（4分）

（2）∵EF∥AC，AE∥CF，
∴四边形ACFE是平行四边形；
∴EF=AC（5分）
∵△CFD∽△BAC，
∴（7分）
∴y=2-；（8分）

（3）四边形ACFE是菱形，
∴CF=AC=2；（9分）
∵△CFD∽△BAC，
∴（10分）
∴DE=1．（12分）