Question

（2008•朝阳区一模）我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则称这个四边形为等平方和四边形，
（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称：______，
（2）如图（1），在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足为O．求证：AD²+BC²=AB²+DC²，即四边形ABCD是等平方和四边形．

（3）如果将图（1）中的△AOD绕点O按逆时针方向旋转α度（0＜α＜90）后得到图（2），那么四边形ABCD能否成为等平方和四边形？若能，请你证明；若不能，请说明理由．

Answer

（1）据题中定义，只要邻边相等的平行四边形即符合要求，则菱形或正方形都符合要求．
（2）根据AC⊥BD和勾股定理易证得AD2+BC2=AB2+DC2即四边形ABCD是等平方和四边形．
（3）作出原梯形A′BCD′，连接AC、BD交于O′，首先证明A′OD′∽△COB，再证明△AOC∽△DOB，可得∠AOD=∠AOD=90°，以下同（2）的证法即得到AD2+BC2=AB2+DC2即四边形ABCD是等平方和四边形．
【解析】
（1）菱形或正方形；（1分）

（2）证明：∵AC⊥BD，
∴∠AOD=∠BOC=∠AOB=∠DOC=90°
∴OA2+OD2=AD2；OB2+OC2=BC2；OA2+OB2=AB2；OD2+OC2=DC2．
∴AD2+BC2=AB2+DC2即四边形ABCD是等平方和四边形．（3分）

（3）【解析】
四边形ABCD是等平方和四边形．
证明：原梯形记为A′BCD′，
依题意旋转后得四边形ABCD，连接AC、BD交于点O′，

∵A′D′∥BC，
∴A′OD′∽△COB，
∴，
∵OA′=OA，OD′=OD，
∴，
∵∠AOA'=∠DOD'=α，
∴∠AOC=∠DOB=180°-α，
又∵，
∴△AOC∽△DOB；（5分）
∴∠1=∠2
又∵∠3=∠4，
∴∠AO′D=∠AOD=90°，
由（2）的结论得：AD2+BC2=AB2+DC2．
即四边形ABCD是等平方和四边形．（7分）