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(2008•朝阳区一模)已知抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C(0,3),过点C作x轴的平行线与抛物线交于点D,抛物线的顶点为M,直线y=x+5经过D、M两点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)连接AM、AC、BC,试比较∠MAB和∠ACB的大小,并说明你的理由.
(1)由于CD∥x轴,将C点纵坐标代入直线DM的解析式中,即可得到D点的坐标,进而可得到抛物线的对称轴方程,再根据直线DM的解析式,即可求得抛物线的顶点坐标,进而可利用待定系数法求得该抛物线的解析式. (2)根据抛物线的解析式,可求得A、B两点坐标,即可得到OA=OC=3,故△OAC是等腰直角三角形,若过B作BP⊥AC于P,则△ABP也是等腰直角三角形,即可得到AP、BP的长,进而可求得CP的值,从而在Rt△BCP中求得∠BPC的正切值;同理,可过M作x轴的垂线,根据M点的坐标,即可得到∠MAB的正切值,然后比较这两个角的正切值即可得到两个角的大小关系. 【解析】 (1)∵CD∥x轴且点C(0,3), ∴设点D的坐标为(x,3), ∵直线y=x+5经过D点, ∴3=x+5, ∴x=-2, 即点D(-2,3), 根据抛物线的对称性,设顶点的坐标为M(-1,y), 又∵直线y=x+5经过M点, ∴y=-1+5,y=4、即M(-1,4), ∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+4, ∵点C(0,3)在抛物线上, ∴a=-1, 即抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.(3分) (2)作BP⊥AC于点P,MN⊥AB于点N; 由(1)中抛物线y=-x2-2x+3可得: 点A(-3,0),B(1,0), ∴AB=4,AO=CO=3,AC=, ∴∠PAB=45°; ∵∠ABP=45°, ∴PA=PB=, ∴PC=AC-PA=; 在Rt△BPC中,tan∠BCP==2, 在Rt△ANM中,∵M(-1,4), ∴MN=4 、∴AN=2, tan∠NAM==2, ∴∠BCP=∠NAM, 即∠ACB=∠MAB.(8分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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