Question

（2009•防城港）如图，⊙O的半径为2，直径CD经过弦AB的中点G，若的长等于圆周长的．
（1）填空：cos∠ACB=______

Answer

连接OA，OB，由的长等于圆周长的知，∠AOB=360°÷6=60°，由圆周角定理知由特殊角的三角函数值知，cos∠ACB=cos30°=，由于直径CD经过弦AB的中点G，根据垂径定理知，OG⊥AB，点D是弧AB的中点，由圆周角定理知，∠ABD=∠ACD=30°，由正切的概念知，GD：GB=tan∠ABD=tan30°=．
【解析】
（1）∠AOB=360°÷6=60°．
∵∠BCD=∠ACD=30°，
cos∠ACB=cos30°=．

（2）解法一：连接OA、OB，则有OA=OB=2．（3分）
∵的长等于圆周长的，
∴∠AOB=360°×=60°．（4分）
∴△AOB是等边三角形，∠OAB=∠OBA=60°．（5分）
∵直径CD经过弦AB的中点G，∴CD⊥AB．
∴OG=OBsin60°=，GB=OBcos60°=1．（7分）
∴GD=OD-OG=2-．（8分）
∴=2-．（9分）
解法二：连接OA、OB，则有OA=OB=2．（3分）
∵的长等于圆周长的，
∴∠AOB=360°×=60°．（4分）
∵直径CD经过弦AB的中点G，∴CD⊥AB．
∴∠BOG=∠AOB=30°．（5分）
∴GB=1，OG==（7分）
∴GD=OD-OG=2-（8分）
∴=2-．（9分）