Question

（2006•株洲）已知a、b是关于x的方程x²-（2k+1）x+k（k+1）=0的两个实数根，则a²+b²的最小值是    ．

Answer

根据a2+b2=（a+b）2-2ab=（2k+1）2-2k（k+1），根据一元二次方程根与系数的关系，可以求得两根之积或两根之和，代入即可得到关于k的代数式，转化为求代数式的最小值问题．
【解析】
由题意知，a+b=2k+1，ab=k（k+1）
∴a2+b2=（a+b）2-2ab
=（2k+1）2-2k（k+1）
=4k2+4k+1-2k2-2k=2k2+2k+1=2（k+）2+，
∴a2+b2的最小值是．