Question

（2006•乐山）已知关于x的方程x²-2（m-1）x+m²-3=0有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）已知a、b、c分别是△ABC的内角∠A、∠B、∠C的对边，∠C=90°，且tanB=，c-b=4，若方程的两个实数根的平方和等于△ABC的斜边c的平方，求m的值．

Answer

（1）由于一元二次方程有两个不相等的实数根，则△＜0，从而得到关于m的不等式，然后就可以得出m的取值范围；
（2）由于tanB=，c-b=4，利用勾股定理可求出c的值，然后根据根与系数的关系得出两个实数根的平方和，根据题意得到关于m的方程，从而可以求出m的值并验根．
【解析】
（1）△=4（m-1）2-4（m2-3）=-8m+16，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
即-8m+16＞0，
解得m＜2，
∴实数m的取值范围是m＜2；

（2）在△ABC中，∠C=90°，tanB=，
∴，
设b=3k，a=4k，
则=5k，
又∵c-b=4，
∴5k-3k=2k=4，
解得k=2，
∴c=10．
不妨设原方程的两根为x1，x2，
由根与系数的关系得x1+x2=2（m-1），
x1x2=m2-3，
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=4（m-1）2-2（m2-3）
=2m2-8m+10，
由已知有：x12+x22=102，
∴2m2-8m+10=102=100，
解这个方程得m1=-5，m2=9，
又∵方程有两个不相等实数根，
必须满足m＜2，
∴m=-5．