Question

（2006•广安）已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5．试问：k取何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？

Answer

△ABC是以BC为斜边的直角三角形，即AB，AC的平方和是25，则一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根的平方和是25，根据韦达定理和勾股定理解出k的值，再把k的值代入原方程，检查k是哪个值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形则可．
【解析】
设边AB=a，AC=b
∵a、b是方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两根
∴a+b=2k+3，a•b=k2+3k+2
又∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC=5
∴a2+b2=52，
即（a+b）2-2ab=52，
∴（2k+3）2-2（k2+3k+2）=25
∴k2+3k-10=0
∴k1=-5或k2=2
当k=-5时，方程为：x2+7x+12=0
解得：x1=-3，x2=-4（舍去）
当k=2时，方程为：x2-7x+12=0
解得：x1=3，x2=4
∴当k=2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．