Question

（2006•苏州）如图，直角坐标系中，已知点A（2，4），B（5，0），动点P从B点出发沿BO向终点O运动，动点Q从A点出发沿AB向终点B运动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了xs．
（1）Q点的坐标为______（用含x的代数式表示）；
（2）当x为何值时，△APQ是一个以AP为腰的等腰三角形？
（3）记PQ的中点为G．请你探求点G随点P，Q运动所形成的图形，并说明理由．

Answer

（1）如果过点A作OB的垂线，不难求出cos∠ABO=，sin∠ABO=，因此，Q移动时，横向移动的速度是1•cos∠ABO=单位/秒，纵向移动的速度是1•sin∠ABO=单位/秒，因此Q得坐标就可表示为（2+，4-）．
（2）有了A、Q的坐标，如果分别过A、Q做x轴的垂线，通过构成的直角三角形，不难用x表示出AQ、AP和PQ的值，然后分AP=AQ，PQ=AP两种情况进行讨论，得出x的值．
（3）通过观察G点似乎应该在三角形ABO的中位线上，因此它的轨迹应该是个线段．
可设AB、BO的中点分别为点M、N，设MN、PQ相交于点G′，只要证明G′与G重合，也就是G′是QP的中点即可．过点P作PK∥AO交AB于点K．只要证明KM=QM就行了，根据三角形AOB为等腰三角形，AQ、PK、MN都平行，不难得出AQ=BK，AM=BM，因此便可得出KM=QM了．由此便可得出G′是PQ中点，与G重合．
【解析】
（1）（2+，4-）．

（2）由题意，得P（5-x，0），0＜x≤5
由勾股定理
求得PQ2=（-3）2+（4-）2
AP2=（3-x）2+42
若AQ=AP，则x2=（3-x）2+42，解得x=
若PQ=AP
则（-3）2+（4-）2=（3-x）2+42
即x2-10x=0，解得x1=0（舍去），x2=
经检验，当x=或x=时，△APQ是一个以AP为腰的等腰三角形．

（3）设AB、BO的中点分别为点M、N，则点G随点P、Q运动所形成的图形是线段MN
设MN，PQ相交于点G′，过点P作PK∥AO交AB于点K

∴PK∥AO∥MN
∴△A0B∽△KPB∽△MNB．
∵AB=OB
∴BK=BP=AQ，BM=BN
∴BK-BM=AQ-BM，
BK-BM=AQ-AM
即KM=QM
∴PG′=QG′
∴G′是PQ的中点
即点G′与点G重合．
∴点G随点P、Q运动所形成的图形是△OBA的中位线MN．