Question

（2006•永州）（附加题）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的直径AD交小圆于M，N两点，大圆的弦AB切小圆于点C，过点C作直线CE⊥AD，垂足为E，交大圆于F，H两点．
（1）试判断线段AC与BC的大小关系，并说明理由；
（2）求证：FC•CH=AE•AO；
（3）若FC，CH是方程x²-2x+4=0的两根（CH＞CF），求图中阴影部分图形的周长．

Answer

（1）相等，主要根据是垂径定理，从已知条件中可知AB为大圆的弦，且垂直于半径，所以相等．
（2）利用切线定理，和相交弦定理就可证明．
（3）先解方程求出根，再观察图发现阴影部分图形的周长就是一段弧长加一线段，分别计算相加．
（1）【解析】
相等．（1分）
连接OC，则CO⊥AB，故AC=BC．（3分）

（2）证明：由△ACH∽△FCB，得AC•CB=FC•CH=AC2，（4分）
又由△ACE∽△AOC，得AC2=AE•AO．（5分）
∴FC•CH=AE•AO．（6分）

（3）【解析】
解方程得：CH=+1，CF=-1，（7分）
CE=-（-1）=1，AC2=4，AC=2，
在Rt△ACE中，sinA=，
∴∠A=30°，∴∠AOC=60°，∠CON=120度．
在△ACO中，CO=AC•tanA=2×，
AO=，AM=AO-OM=，
弧CN长=，
AN=AM+2OC=，（9分）
阴影部分周长=AC+AN+．（10分）