Question

（2006•宁夏）在边长为6cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别按A⇒B，B⇒C，C⇒D，D⇒A的方向同时出发，以1cm/s的速度匀速运动．
（1）在运动中，点E，F，G，H所形成的四边形EFGH为（ ）
A：平行四边形；B：矩形；C：菱形；D：正方形．

（2）四边形EFGH的面积s（cm²）随运动时间t（s）变化的图象大致是（ ）

（3）写出四边形EFGH的面积S（cm²）关于运动时间t（s）变化的函数关系式，并求运动几秒钟时，面积最小，最小值是多少？

Answer

（1）根据全等三角形的性质求出EF=EH，判断出EFGH为菱形，再求出一个较为90度即可；
（2）应该是由大变小，进而变大的过程；
（3）s=EH2=AE2+AH2，当x=-时，y有最小值．
【解析】
（1）易得EH和EF所在的三角形全等，那么EF=EH，进而求得其它四条边相等，那么EFGH为菱形
由全等得∠AEH=∠EFB
∵∠EFB+∠BEF=90°
∴∠AEH+∠BEF=90°
∴∠HEF=90°
∴EFGH是正方形；
故选D．

（2）由图可知，当E、F、G、H为四边形ABCD各边中点时，
四边形EFGH面积最小，可得面积变化经过了“由大变小，再由小变大”的过程，
于是可得四边形EFGH的面积s（cm2）随运动时间t（s）变化的图象大致是抛物线．
故选B．

（3）设AE=xcm，∴S=EH2=AE2+AH2=x2+（6-x）2=2x2-12x+36=2（x-3）2+18，
可知当x=3时，S最小值=18．