Question

（2006•扬州）图1是用钢丝制作的一个几何探究工具，其中△ABC内接于⊙G，AB是⊙G的直径，AB=6，AC=3．现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图2），然后点A在射线OX上由点O开始向右滑动，点B在射线OY上也随之向点O滑动（如图3），当点B滑动至与点O重合时运动结束．
（1）试说明在运动过程中，原点O始终在⊙G上；
（2）设点C的坐标为（x，y），试探求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在整个运动过程中，点C运动的路程是多少？

Answer

（1）因为OG始终是⊙G的半径，所以原点O始终在⊙G上；
（2）运动过程中，弧AC的长保持不变，弧AC所对应的圆周角∠AOC保持不变，等于∠XOC，∠xOC=30°，y=．即自变量x的取值范围是≤x≤3；
（3）利用勾股定理可求得，点C运动的路程总路径为：C1C2+C2C3=3+6-3=9-3．
【解析】
（1）∵AB是⊙G的直径，
∴∠AOB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴原点O始终在⊙G上；

（2）运动过程中，弧AC的长保持不变，
弧AC所对应的圆周角∠AOC保持不变，
由图2可知，∠AOC=30°，y=，
即自变量x的取值范围是≤x≤3；

（3）【解析】
如图1，连接OG．
∵∠AOB是直角，G为AB中点，
∴GO=AB=半径，
∴原点O始终在⊙G上．
∵∠ACB=90°，AB=6，AC=3，
∴BC=3，
连接OC．则∠AOC=∠ABC，
∴tan∠AOC==，
∴点C在与x轴夹角为∠AOC的射线上运动．
如图2，C1C2=OC2-OC1=6-3=3；
如图3，C2C3=OC2-OC3=6-3；
∴总路径为：C1C2+C2C3=3+6-3=9-3．