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(2006•河南)如图,在平面直角坐标系中,直线y=-manfen5.com 满分网x+4分别交x轴、y轴于A、B两点.
(1)求两点的坐标;
(2)设是直线AB上一动点(点P与点A不重合),设⊙P始终和x轴相切,和直线AB相交于C、D两点(点C的横坐标小于点D的横坐标)设P点的横坐标为m,试用含有m的代数式表示点C的横坐标;
(3)在(2)的条件下,若点C在线段AB上,求m为何值时,△BOC为等腰三角形?

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(1)因为直线y=-x+4分别交x轴、y轴于A、B两点,所以分别令x=0、y=0,即可求出A、B的坐标; (2)设点C的横坐标为n.由(1)知AB==5,所以sin∠OBA=,要求点C的横坐标,可过C作CE⊥x轴于E,过P作PG⊥x轴于G,PF⊥CE于F,则∠FCP=∠OBA,PF=m-n. ①若m<3时,因为P点的横坐标为m,P在直线y=-x+4上,所以PC=PG=-m+4,利用三角函数可得PF=PC•sin∠FCP=PC•sin∠OBA,即可得到关于m、m的关系式,整理即可; ②当m>3时,P在x轴的下方,所以PC=PG=,PF=PC•sin∠FCP=PC•sin∠OBA,整理即可得到另一个m、n的关系式; (3)当点C在线段AB上时,由(2)知,C点的横坐标n=m-,因为△BOC为等腰三角形,所以需要分情况讨论: ①当CB=CO时,因为△OBA是直角三角形,∠BOA=90°,所以此时C为AB的中点,C点的横坐标为,即n=,即,解之即可; ②当CB=OB=4时,因为AB=5,可得AC=AB-CB=1,利用三角函数可得AE=AC•cos∠OAB=,又因OE+AE=OA,就可得到关于m的方程,解之即可; ③当OC=OB时,因为OB>OA,所以C在线段BA的延长线上,即在线段AB上不存在点C,使OC=OB. 【解析】 (1)当x=0时,y=4;当y=0时,-x+4=0,x=3. ∴A(3,0),B(0,4).(2分) (2)设点C的横坐标为n.由(1)知AB==5, ∴sin∠OBA=. 过C作CE⊥x轴于E,过P作PG⊥x轴于G,PF⊥CE于F, 则∠FCP=∠OBA,PF=m-n. ①当m<3时,∵PC=PG=-m+4, ∴PF=PC•sin∠FCP=PC•sin∠OBA, ∴m-n=(-m+4)×. 解得n=m-.(5分) ②当m>3时,PC=PG=,PF=PC•sin∠FCP=PC•sin∠OBA, ∴m-n=(m-4)×. 解得n=m+.(7分) (3)当点C在线段AB上时,由(2)知,C点的横坐标n=m-, 以下两种情况△BOC为等腰三角形. ①当CB=CO时, ∵△OBA是直角三角形,∠BOA=90度. ∴此时C为AB的中点, ∴C点的横坐标为. ∴,解得m=.(9分) ②当CB=OB时, ∵AB=5, ∴AC=AB-CB=1, ∴AE=AC•cos∠OAB=. ∵OE+AE=OA, ∴,解得m=. ∵OB>OA, ∴在线段AB上不存在点C,使OC=OB. 所以,当m=或m=时,△BOC为等腰三角形.(11分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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