Question

（2006•泉州）如图，在直角坐标系中，O为原点，A（4，12）为双曲线（x＞0）上的一点．
（1）求k的值；
（2）过双曲线上的点P作PB⊥x轴于B，连接OP，若Rt△OPB两直角边的比值为，试求点P的坐标；
（3）分别过双曲线上的两点P₁、P₂，作P₁B₁⊥x轴于B₁，P₂B₂⊥x轴于B₂，连接OP₁、OP₂．设Rt△OP₁B₁、Rt△OP₂B₂的周长分别为l₁、l₂，内切圆的半径分别为r₁、r₂，若，试求的值．

Answer

（1）直接把A的坐标代入解析式中就可以确定k的值；
（2）设P（m，n），根据函数解析式和Rt△OPB两直角边的比值可以列出方程，解方程可以求出m，n，也就求出了点P的坐标；
（3）根据最下图此题首先应该知道一个结论：（a+b+c）•r=ab，利用这个结论可以得到，这样就可以求出的值了．
【解析】
（1）将A（4，12）代入双曲线中，得12=，则k=48；（3分）

（2）由（1）得双曲线解析式为，（4分）
设P（m，n），∴，即mn=48，（5分）
当时，即，可设m=z，n=4z，
∴z•4z=48，解得，
∴，，
∴P（，），（7分）
当时，同理可求得P（，）；（8分）

（3）在Rt△OP1B1中，设OB1=a1，P1B1=b1，OP1=c1，
则P1（a1，b1），由（2）得a1b1=48，
在Rt△OP2B2中，设OB2=a2，P2B2=b2，OP2=c2，
则P2（a2，b2），由（2）得a2b2=48，
∵（10分）
∴（a1+b1+c1）•r1=（a2+b2+c2）•r2（11分）
即l1•r1=l2•r2，故（12分）
又∵=2，∴=2，即得：=．（13分）