Question

（2006•重庆）如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC₁D₁和△BC₂D₂两个三角形（如图所示）．将纸片△AC₁D₁沿直线D₂B（AB）方向平移（点A，D₁，D₂，B始终在同一直线上），当点D₁于点B重合时，停止平移．在平移过程中，C₁D₁与BC₂交于点E，AC₁与C₂D₂、BC₂分别交于点F、P．
（1）当△AC₁D₁平移到如图3所示的位置时，猜想图中的D₁E与D₂F的数量关系，并证明你的猜想；
（2）设平移距离D₂D₁为x，△AC₁D₁与△BC₂D₂重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；
（3）对于（2）中的结论是否存在这样的x的值使得y=S_△ABC；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据AD1=BD2就可以证明AD2=BD1，根据等角对等边证明AD2=D2F，D1E=D1B即可．
（2）由于△AC1D1与△BC2D2重叠部分为不规则图形，所以将其面积转化为S△BC2D2-S△BED1-S△FC2P，再求各三角形的面积即可．
（3）先假设存在x的值使得y=S△ABC，再求出△ABC的面积，然后根据（2）所求y=-x2+x（0≤x≤5）建立等量关系，解出x的值，即可证明存在x的值．
【解析】
（1）D1E=D2F．
∵C1D1∥C2D2，
∴∠C1=∠AFD2．
又∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，
∴DC=DA=DB，即C1D1=C2D2=BD2=AD1
∴∠C1=∠A，
∴∠AFD2=∠A
∴AD2=D2F．
同理：BD1=D1E．
又∵AD1=BD2，
∴AD2=BD1．
∴D1E=D2F．

（2）∵在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，
∴由勾股定理，得AB=10．
即AD1=BD2=C1D1=C2D2=5
又∵D2D1=x，
∴D1E=BD1=D2F=AD2=5-x．
∴C2F=C1E=x
在△BC2D2中，C2到BD2的距离就是△ABC的AB边上的高，为．
设△BED1的BD1边上的高为h，
由探究，得△BC2D2∽△BED1，
∴．
∴h=．S△BED1=×BD1×h=（5-x）2
又∵∠C1+∠C2=90°，
∴∠FPC2=90度．
又∵∠C2=∠B，sinB=，cosB=．
∴PC2=x，PF=x，S△FC2P=PC2×PF=x2
而y=S△BC2D2-S△BED1-S△FC2P=S△ABC-（5-x）2-x2
∴y=-x2+x（0≤x≤5）．

（3）存在．
当y=S△ABC时，即-x2+x=6，
整理得3x2-20x+25=0．
解得，x1=，x2=5．
即当x=或x=5时，重叠部分的面积等于原△ABC面积的．