Question

（2006•宜宾）如图，矩形纸片OABC放在直角坐标系中，使点O为坐标原点，边OA、OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，且OA=5，OC=3，将矩形纸片折叠，使点O落在线段CB上，设落点为P，折痕为EF．
（1）当CP=2时，恰有OF=，求折痕EF所在直线的函数表达式；
（2）在折叠中，点P在线段CB上运动，设CP=x（0≤x≤5），过点P作PT∥y轴交折痕EF于点T，设点T的纵坐标为y，请用x表示y，并判断点T运动形成什么样的图象；
（3）请先探究，再猜想：怎样折叠，可使折痕EF最长？并计算出EF最长时的值．（不要求证明）

Answer

（1）Rt△PCE中，根据勾股定理得到OE，CE，得到点E、F的坐标，根据待定系数法求函数解析式．
（2）易证Rt△PTH≌Rt△OEH，进而证明Rt△OEH∽Rt△OPC，就可以求出y与x的函数解析式．
（3）猜想：当点F与点A重合时，折痕EF最长，易证Rt△EOA∽Rt△PCO，就可以解决．
【解析】
（1）设OE=y，则CE=3-y，
∵点P是点0关于直线EF翻折的对称点，
在Rt△PCE中，有CE2+CP2=PE2，y=，OF=，
∴点E、F的坐标分别是（0，），（，0），
∴折痕EF所在直线的解析式为y=-+．

（2）由题意，点T的坐标为（x，y），连接OP，交EF于点H，
∵由已知得点0折叠后落到点P上，由翻折的对称性可知，
∴EF为OP的垂直平分线，
∴OH=PH，
∴Rt△PTH≌Rt△OEH，
∴PT=OE，（5分）
Rt△OEH∽Rt△OPC，
UP=x，
OE===PT，
又PT=3-y，
y=-+（0≤x≤5），
所以点T运动形成的图形是开口向下的抛物线的一部分，
另法：由题意：点T的坐标为（x，y），连接OP、OT．
由翻折性质得：OT=PT，
OT2=x2+y2，PT=3-y，
∴x2+y2=9-6y+y2
∴y=（0≤x≤5），
所以点T运动形成的图形是开口向下的抛物线的一部分．

（3）猜想：当点F与点A重合时，折痕EF最长，（10分）
此时，仍设CP=x，EA为OP的垂直平分线，则有：EA⊥OP，
∴Rt△EOA∽Rt△PCO．
OE=．
又由（2）可知：OE=，
解得x=1或x=9，
又∵O≤x≤5，
∴x=1，
∴OE=，
∵在Rt△OEA中，OA=5．
∴EF=．