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(2006•盐城)已知:如图,A(0,1)是y轴上一定点,B是x轴上一动点,以A...

(2006•盐城)已知:如图,A(0,1)是y轴上一定点,B是x轴上一动点,以AB为边,在∠OAB的外部作∠BAE=∠OAB,过B作BC⊥AB,交AE于点C.
(1)当B点的横坐标为manfen5.com 满分网时,求线段AC的长;
(2)当点B在x轴上运动时,设点C的纵、横坐标分别为y、x,试求y与x的函数关系式(当点B运动到O点时,点C也与O点重合);
(3)设过点P(0,-1)的直线l与(2)中所求函数的图象有两个公共点M1(x1,y1)、M2(x2,y2),且x12+x22-6(x1+x2)=8,求直线l的解析式.

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(1)根据题意得:∠AOB=∠ABC=90°,∠OAB=∠CAB,所以△AOB∽△ABC,由相似三角形的性质,相似三角形的对应边成比例,即可求得; (2)当B不与O重合时,延长CB交y轴于点D,过C作CH⊥x轴,交x轴于点H,则可证得AC=AD,因为AO⊥OB,AB⊥BD,所以△ABO∽△BDO,根据相似三角形的性质即可求得; (3)首先求得交点坐标的方程,根据根与系数的关系求解即可. 【解析】 (1)方法一:在Rt△AOB中,可求得AB=,(1分) ∵∠OAB=∠BAC,∠AOB=∠ABC=Rt90° ∴△ABO∽△ACB,(2分) ∴, 由此可求得:AC=;(3分) 方法二:由题意知:tan∠OAB=,(1分) 由勾股定理可求得AB=2分, 在△ABC中,tan∠BAC=tan∠OAB=, 可求得AC=;(3分) (2)方法一:当B不与O重合时,延长CB交y轴于点D, 过C作CH⊥x轴,交x轴于点H,则可证得AC=AD, ∵AO⊥OB,AB⊥BD, ∴△ABO∽△BDO, 则OB2=AO×OD,(6分) 即2=1×|-y|, 化简得:y=, 当O、B、C三点重合时,y=x=0, ∴y与x的函数关系式为:y=;(7分) 方法二:过点C作CG⊥x轴,交AB的延长线于点H, 则AC2=(1-y)2+x2=(1+y)2,化简即可得; (3)设直线的解析式为y=kx+b, 则由题意可得:, 消去y得:x2-4kx-4b=0, 则有, 由题设知:x12+x22-6(x1+x2)=8, 即(4k)2+8b-24k=8,且b=-1, 则16k2-24k-16=0, 解之得:k1=2,k2=, 当k1=2、b=-1时, △=16k2+16b=64-16>0,符合题意; 当k2=,b=-1时,△=16k2+16b=4-16<0,不合题意(舍去), ∴所求的直线l的解析式为:y=2x-1.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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