（2006•雅安）如图，已知二次函数y=-x2+4x+c的图象经过坐标原点，并且...

（2006•雅安）如图，已知二次函数y=- manfen5.com 满分网

x²+4x+c的图象经过坐标原点，并且与函数y= manfen5.com 满分网

x的图象交于O、A两点．
（1）求c的值；
（2）求A点的坐标；
（3）若一条平行于y轴的直线与线段OA交于点F，与这个二次函数的图象交于点E，求线段EF的最大长度．

（1）二次函数y=-x2+4x+c的图象经过坐标原点，把（0，0）代入解析式就可以求出c的值．（2）解抛物线的解析式与函数y=x的解析式组成的方程组就可以求出A点的坐标．（3）直线OA的解析式可以利用待定系数法求出函数的解析式，设E点的横坐标是x，把x代入抛物线的解析式，以及直线OA的解析式，就可以求出两个函数交点的纵坐标，纵坐标的差就是EF的长，EF的长可以表示成x的函数．可以转化为函数的最值问题．【解析】（1）（0，0）代入y=-x2+4x+c 解得：c=0．（2）根据题意得到，解得，则A（7，）．（3）设此直线为x-a，则E（a，-+4a），F（a，）， ∴EF=-a2+4a-a=-a2+a =-（a-）2+ ∴当a=时，EF最大长度为．

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考点分析：

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（3）请先探究，再猜想：怎样折叠，可使折痕EF最长？并计算出EF最长时的值．（不要求证明）

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试题属性

题型：解答题
难度：中等